Question

某集團(tuán)準(zhǔn)備興辦一所中學(xué)，投資1200萬(wàn)元用于硬件建設(shè)．為了考慮社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)利益，對(duì)該地區(qū)教育市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查，得出一組數(shù)據(jù)列表（以班為單位）如下：

	班級(jí)學(xué)生數(shù)	配備教師數(shù)	硬件建設(shè)（萬(wàn)元）	教師年薪（萬(wàn)/人）
初中	60	2.0	28	1.2
高中	40	2.5	58	1.6

根據(jù)有關(guān)規(guī)定，除書本費(fèi)、辦公費(fèi)外，初中生每年可收取學(xué)費(fèi)600元，高中生每年可收取學(xué)費(fèi)1500元．因生源和環(huán)境等條件限制，辦學(xué)規(guī)模以20至30個(gè)班為宜．根據(jù)以上情況，請(qǐng)你合理規(guī)劃辦學(xué)規(guī)模使年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)多少萬(wàn)元？（利潤(rùn)=學(xué)費(fèi)收入-年薪支出）

Answer 1

分析：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實(shí)際問(wèn)題屬于直線方程的一個(gè)應(yīng)用．設(shè)初中x個(gè)班，高中y個(gè)班，年利潤(rùn)為s，根據(jù)題意找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)，準(zhǔn)確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解．

解答：解：設(shè)初中x個(gè)班，高中y個(gè)班，則
設(shè)年利潤(rùn)為s，則

20≤x+y≤30 ① 28x+58y≤1200 ② x，y∈N*

s=60×0.06x+40×0.15y-2×1.2x-2.5×1.6y
=1.2x+2y
作出①、②表示的平面區(qū)域，如上圖，易知當(dāng)直線1.2x+2y=s過(guò)點(diǎn)A時(shí)，s有最大值．
由

x+y=30 28x+58y=1200

解得A（18，12）
∴s_max=1.2×18+2×12=45.6（萬(wàn)元）．
即學(xué)校可規(guī)劃初中18個(gè)班，高中12個(gè)班，可獲得最大年利潤(rùn)為45.6萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．