Question

把邊長為a的等邊三角形鐵皮如圖（1）剪去三個相同的四邊形（如圖陰影部分）后,用剩余部分做成一個無蓋的底面為正三角形的直棱柱形容器(不計接縫)如圖（2），設容器的高為x，容積為。
（Ⅰ）寫出函數的解析式，并求出函數的定義域；
（Ⅱ）求當x為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積。

Answer 1

（Ⅰ）   
（Ⅱ）當正三棱柱形容器高為時，容器的容積最大為 

（Ⅰ）因為容器的高為x，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為----2分.
則   .  -------------5分
函數的定義域為.    ----------------6分
（Ⅱ）實際問題歸結為求函數在區間上的最大值點.
先求的極值點.
在開區間內，-------------8分
令，即令，解得.
因為在區間內，可能是極值點. 當時，；
當時，.          -----11分
因此是極大值點，且在區間內，是唯一的極值點，所以是的最大值點，并且最大值   
即當正三棱柱形容器高為時，容器的容積最大為.------14分