Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，則下列命題中：
①AC⊥PB；
②AB∥平面PCD；
③PA與平面PBD所成的角等于PC與平面PBD所成的角；
④異面直線AB與PC所成的角等于異面直線DC與PA所成的角．
正確的命題為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，結合三垂線定理判定異面垂直可得AC⊥PB，故①是真命題；根據線面平行判定定理，得到②是真命題；根據直線與平面所成角的定義，結合Rt△PAD≌Rt△PCD，可得③是真命題；根據異面直線所成角的定義，得到AB與PC所成的角不等于異面直線DC與PA所成的角，故④是假命題．
解答：解：對于①，因為PD⊥底面ABCD，得BD是PB在平面ABCD內的射影
又因為ABCD為正方形，所以BD⊥AC，可得AC⊥PB，故①是真命題；
對于②，因為AB∥CD，AB?平面PCD且CD?平面PCD，
所以AB∥平面PCD，故②是真命題；
對于③，因為AD、CD分別為PA、PC在平面ABCD內的射影
所以∠PAD、∠PCD分別是PA與平面PBD所成的角和PC與平面PBD所成的角．
又因為Rt△PAD≌Rt△PCD，所以∠PAD=∠PCD，可得③是真命題；
對于④，因為AB∥CD，可得∠PCD等于AB與PC所成的角，是一個銳角
而CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，即DC與PA所成的角為直角，
所以AB與PC所成的角不等于異面直線DC與PA所成的角，故④是假命題
故答案為：①②③
點評：本題給出底面為正方形且一條側棱垂直于底面的四棱錐，判斷幾個關于位置關系命題的真假．著重考查了空間線面垂直、線面平行的判定與性質和異面直線所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題．