Question

已知函數f（x）=4sin²ωx-3

3

sinωxcosωx+cos2ωx是以

π

2

為最小正周期的周期函數．
（1）求y=f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）求函數y=f（x）的單調遞增區間，并求最大值及取得最大值時x的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等變換化簡函數f（x）的解析式為

5

2

-3sin（2ωx+

π

6

），再根據函數f（x）的最小正周期
求得ω，可得函數的解析式，從而求得y=f（x）圖象的對稱軸方程．
（2）令 2kπ+

π

2

≤4x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范圍，可得函數的增區間，從而求得函數的最大值及取得
最大值時x的值．

解答：解：（1）由于函數f（x）=4sin²ωx-3

3

sinωxcosωx+cos2ωx=1+3×

1-cos2ωx

2

-

3 3

2

sin2ωx
=

5

2

-3（

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx）=

5

2

-3sin（2ωx+

π

6

），
且函數f（x）的最小正周期為

π

2

，
∴

2π

2ω

=

π

2

，∴ω=2，
故函數的解析式為 f（x）=

5

2

-3sin（4x+

π

6

）．
再由 4x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，可得x=

kπ

4

+

π

12

，
故y=f（x）圖象的對稱軸方程為 x=

kπ

4

+

π

12

，k∈z．
（2）由于f（x）=

5

2

-3sin（4x+

π

6

），
故函數f（x）的增區間，即為sin（4x+

π

6

）的減區間．
令 2kπ+

π

2

≤4x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得

kπ

2

+

π

12

≤x≤

kπ

2

+

π

3

，k∈z，
故函數的增區間為[

kπ

2

-

π

6

，

kπ

2

+

π

12

]，k∈z．
當sin（4x+

π

6

）取得最小值時，函數f（x）取得最大值，令 4x+

π

6

=2kπ+

3π

2

，可得 x=

kπ

2

+

π

3

，k∈z，
函數f（x）取得最大值為

5

2

+3=

11

2

，此時，x的值為：

kπ

2

+

π

3

，k∈z．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性和求法，三角函數的單調性及最值，
屬于中檔題．