Question

工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內不能完成任務則撤出，再派下一個人。現在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別，假設互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立.
（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率。若改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發生變化？
（Ⅱ）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數目的分布列和均值（數字期望）；
（Ⅲ）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數目的均值（數字期望）達到最小.

Answer 1

（Ⅰ）無關；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人

本試題主要是考查了相互獨立事件的概率的乘法公式，以及均值的求解和期望公式的運用。
（I）無論以怎樣的順序派出人員，任務不能被完成的概率都是可以解得，所以任務能被完成的概率與三個被派出的先后順序無關，則可得。
（II）當依次派出的三個人各自完成任務的概率分別為求解出時，隨機變量X的分布列可以得到，并且所需派出的人員數目的均值（數學期望）EX也可以求解。
（III）由（II）的結論知，當以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時，
根據常理，優先派出完成任務概率大的人，可減少所需派出的人員數目的均值.
解：（I）無論以怎樣的順序派出人員，任務不能被完成的概率都是，所以任務能被完成的概率與三個被派出的先后順序無關，并等于

（II）當依次派出的三個人各自完成任務的概率分別為時，隨機變量X的分布列為   

X	1	2	3
P

所需派出的人員數目的均值（數學期望）EX是

（III）（方法一）由（II）的結論知，當以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時，

根據常理，優先派出完成任務概率大的人，可減少所需派出的人員數目的均值.
下面證明：對于的任意排列，都有
……………………（*）
事實上，

即（*）成立.
（方法二）（i）可將（II）中所求的EX改寫為若交換前兩人的派出順序，則變為.由此可見，當時，交換前兩人的派出順序可減小均值.
（ii）也可將（II）中所求的EX改寫為，或交換后兩人的派出順序，則變為.由此可見，若保持第一個派出的人選不變，當時，交換后兩人的派出順序也可減小均值.
序綜合（i）（ii）可知，當時，EX達到最小. 即完成任務概率大的人優先派出，可減小所需派出人員數目的均值，這一結論是合乎常理的