Question

設關于x的不等式lg（|x+3|+|x-7|）＞a
（1）當a=1時，解這個不等式；
（2）當a為何值時，這個不等式的解集為R．

Answer 1

【答案】分析：（1）轉化成絕對值不等式，令每項等于零，得到的值作為討論的分區點，然后再分區間討論絕對值不等式，最后應求出解集的并集．
（2）解決恒成立問題，可將問題轉化為研究函數f（x）的最小值大于a即可．
解答：解：（1）由題意得：|x+3|+|x-7|＞10，
當x≥7時x+x-4＞10得：x＞7（3分）
當-3＜x＜7時，x+4-x＞10不成立（5分）
當x≤-3時-x+4-x＞10得：x＜-3（7分）
解得：x＜-3或x＞7（6分）
（2）設t=|x+3|+|x-7|，
則由對數定義及絕對值的幾何意義知t≥10，
因y=lgx在（0，+∞）上為增函數，
∵|x+3|+|x-7|的最小值為10，
∴lg（|x+3|+|x-7|）的最小值為1（8分）
要使不等式的解集為R，則須a＜1（10分）
點評：本題考查了對數的運算性質，以及絕對值不等式的解法，所謂零點分段法，即令每項等于零，得到的值作為討論的分區點，然后再分區間討論絕對值不等式，最后應求出解集的并集．