Question

（本小題滿分14分）
設函數f(x)＝tx²＋2t²x＋t－1(t∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值s(t)；
(2)若s(t)<－2t＋m對t∈(0,2)時恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：(1)∵f(x)＝tx²＋2t²x＋t－1
＝t(x＋t)²－t³＋t－1(t∈R，t>0)，           3分
∴當x＝－t時，f(x)取得最小值f(－t)＝－t³＋t－1，
即s(t)＝－t³＋t－1.                      6分
(2)令h(t)＝s(t)－(－2t＋m)＝－t³＋3t－1－m.
由h′(t)＝－3t²＋3＝0，                 8分
得t＝1或t＝－1(舍去)，則有               10分

t	(0,1)	1	(1,2)
h′(t)	＋	0	－
h(t)	增	極大值	減

∴h(t)在(0,2)內有最大值1－m，                 12分
∴s(t)<－2t＋m對t∈(0,2)時恒成立等價于h(t)<0恒成立，
即1－m<0，∴m>1.                     14分

略