Question

已知函數f（x）=x³-ax+b在區間在x=2處取得極值-8
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）求函數y=f（x）的單調區間．
（3）當x∈[-3，3]時，求y=f（x）的最值域．

Answer 1

分析：（1）求出導函數，令f′（2）=0，f（2）=-8，列出方程組，求出a，b的值得到函數的解析式．
（2）將求出的a，b值代入導函數，令導函數大于0，求出x的范圍為單調遞增區間；令導函數小于0 得到x的范圍為單調遞減區間．
（3）由（2），求出函數的兩個極值及端點值，比較出最大值 與最小值，求出值域．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²-a
f（x）=x³-ax+b在區間在x=2處取得極值-8
∴

f′(2)=0 f(2)=-8

即

12-a=0 8-2a+b=-8

解得a=12，b=8
所以f（x）=x³-12x+8
（2）由（1）f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）
令f′（x）＞0得x＞2或x＜-2；令f′（x）＜0得-2＜x＜2
所以y=f（x）的單調遞增區間為（2，+∞）和（-∞，-2）；遞減區間有（-2，2）．
（3）由（2）得x=-2是極大值點，x=2是極小值點，且f（-2）=24，f（2）=-8，f（-3）=17，f（3）=-1
所以函數的值域為[-8，24]．

點評：函數在極值點處的導數值為0；導函數大于0的x的范圍為單調遞增區間；導函數小于0的區間為函數的單調減區間．