Question

已知函數f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）求函數f（x）的極值點和極值；
（2）當a＞0時，求函數f（x）在[1，2]上的最小值．
（3）當a=

3

4

時，是否同時存在實數m和M（m＜M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x），x∈[1，2]都有公共點？若存在，求出最小的實數m和最大的實數M；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）對f（x）進行求導，令f′（x）=0，求出極值點，利用導數研究函數的單調性和極值；
（2）根據（1）的條件，函數f（x）的增區間為（0，

1

a

），減區間為（

1

a

，+∞），因為

1

a

與1，2大小不知道，所以對其進行討論，分情況求出函數f（x）在[1，2]上的最小值；
（3）把a=

3

4

代入函數f（x）求出去單調區間，再求出去最值，假設存在，我們可以取f（x）的最小值和最大值組成一個區間，并對其進行驗證；

解答：解：（1）∵f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

(x＞0)，
∴當a≤0時，f′（x）=

1-ax

x

＞0，即函數f（x）的增區間為（0，+∞），此時f（x）無極值點；
當a＞0時，令f′（x）=

1-ax

x

=0得，x=

1

a

＞0．列表如下：

x	（0， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞），
f′（x）	+	0	-
f（x）	單調增	極大值	單調減

由上表知：函數f（x）的極值點為x=

1

a

，且在該極值點處有極大值為f（

1

a

）=-lna-1．…（4分）
（2）由（1）知：當a＞0時，函數f（x）的增區間為（0，

1

a

），減區間為（

1

a

，+∞）．
①若

1

a

≤1即a≥1時，函數f（x）在區間[1，2]上為減函數，所以（f（x））_min=f（2）=ln2-2a，；
②若

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

時，函數f（x）在區間[1，2]上為增函數，所以（f（x））_min=f（1）=-a，；
③若1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1時，函數f（x）在區間（1，

1

a

）上為增函數，在區間（

1

a

，2）為減函數，
又f（2）-f（1）=ln2-a，所以，當

1

2

＜a＜ln2時，（f（x））_min=f（1）=-a，；
當ln2≤a＜1時，（f（x））_min=f（2）=ln2-2a，
綜上可知：當0＜a＜ln2時，（f（x））_min=f（1）=-a，；
當a≥ln2時，（f（x））_min=f（2）=ln2-2a，
（3）當a=

3

4

時，由（2）知函數f（x）在區間（1，

4

3

）上為增函數，在區間（

4

3

，2）為減函數，
所以（f（x））_min=f（

4

3

）=ln

4

3

-1，又f（2）-f（1）=ln2-

3

4

＜0，所以，
（f（x））_min=f（2）=ln2-

3

2

．
故函數y=f（x），x∈[1，2]的值域為[ln2-

3

2

，ln

4

3

-1]．
據此可得，若

m=ln2- 3 2 M=ln 4 3 -1

，相對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x），x∈[1，2]都有公共點；
并且對每一個t∈（-∞，m）∪（M，+∞），直線y=t與曲線y=f（x），x∈[1，2]都沒有公共點．
綜上，當a=

3

4

時，存在最小的實數m=ln2-

3

2

，最大的實數M=ln

4

3

-1，使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x），x∈[1，2]都有公共點．              …（14分）

點評：此題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力和抽象概括能力、運算求解能力，考查函數與方程思想，化歸和轉化思想，分類與整合思想．其中問題（3）是一個存在性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．