Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過A點作面A₁BD的垂線，垂足為P．則下列命題：
①P是△A₁BD的重心；
②AP也垂直于面CB₁D₁；
③AP的延長線必通過點C₁；
④AP與面AA₁D₁D所成角為45°．
其中，正確的命題是（ ）

A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①③④

Answer 1

【答案】分析：在正方體中，體對角線與過端點的三條棱的另三個端點確定的平面是垂直的，且垂足也是該三角形的重心，由此判斷即得
解答：解：如圖由正方體的性質知面A₁BD與體對角線AC₁垂直，三角形A₁BD是一個正三角形，
故它們的交點也是三角形的中心，面A₁BD與面CB₁D₁是平行的關系，且它也是一個正三角形；
由此則可以判斷①P是△A₁BD的重心是正確的；
②AP也垂直于面CB₁D₁正確；
③AP的延長線必通過點C₁；正確；
④AP與面AA₁D₁D所成角為45°不正確，因為該線面角是∠C₁AD，其不是一個等腰直角三角形，
故選B．
點評：在幾何體中考查點線面之間的關系和角與距離是近今年高考的一個趨勢，因為此類題目比較靈活．