Question

甲、乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者不得分，比賽進行到一方比另一方多2分或打滿6局時停止，設每局中甲獲勝的概率為

2

3

，乙獲勝概率為

1

3

，且各局勝負相互獨立．
（1）求兩局結束時，比賽還要繼續的概率
（2）求比賽停止時已打局數ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）事件“兩局結束時，比賽還要繼續”為前兩局甲、乙各勝一局；利用互斥事件的概率和公式及相互獨立事件同時發生的概率乘法運算求出事件“兩局結束時，比賽還要繼續”的概率．
（2）求出隨機變量可取得值；利用互斥事件的概率和公式及相互獨立事件同時發生的概率乘法公式求出隨機變量取每一個值的概率；列出分布列；利用隨機變量的期望公式求出隨機變量的期望

解答：解：（1）設甲獲勝的概率記作P_甲，乙獲勝的概率為P_乙，依題，兩局結束時，還要進行比賽的概率為P=p甲•p乙+p乙•p甲=

2

3

×

1

3

+

1

3

×

2

3

=

4

9

（4分）
（2）依題，ξ的可能取值為2、4、6
P(ξ=2)=(

2

3

)2+(

1

3

)2=

5

9

P(ξ=4)=

4

9

×

5

9

=

20

81

P(ξ=6)=(

4

9

)2=

16

81

，
故ξ的分布列為

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

（10分）
ξ的期望Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

（12分）

點評：本題考查互斥事件的概率和公式、考查相互獨立事件同時發生的概率乘法公式、考查事隨機變量的分布列的求法、考查隨機變量的期望公式．