Question

已知直線L被兩平行直線L₁：2x-5y=-9與L₂：2x-5y-7=0所截線段AB的中點恰在直線x-4y-1=0上，已知圓C：（x+4）²+（y+1）²=25． 
（Ⅰ）求兩平行直線L₁與L₂的距離；
（Ⅱ）證明直線L與圓C恒有兩個交點；
（Ⅲ）求直線L被圓C截得的弦長最小時的方程．

Answer 1

分析：（1）根據兩平行直線的距離公式可得兩平行直線L₁與L₂的距離；
（2）先求與兩平行直線L₁：2x-5y+9=0與L₂：2x-5y-7=0等距離的直線，再求出與x-4y-1=0的交點，從而可得直線L恒過定點P（-3，-1），進而P（-3，-1）在圓C的內部，從而可知直線L與圓C恒有兩個交點；
（3）直線L被圓C截得的弦長最小時，CP⊥L，根據C（-4，-1），P（-3，-1），即可求得

解答：解：（1）根據兩平行直線的距離公式可得：d=

|9-(-7)|

4+25

=

16 29

29

（2）由題意，與兩平行直線L₁：2x-5y+9=0與L₂：2x-5y-7=0等距離的直線可設為2x-5y+c=0
則根據距離公式可得：|c-9|=|c+7|，∴c=1，
∴與兩平行直線L₁：2x-5y+9=0與L₂：2x-5y-7=0等距離的直線為2x-5y+1=0
∴AB的中點必在直線2x-5y+1=0上
又由2x-5y+1=0，x-4y-1=0可知，兩直線的交點為P（-3，-1）
∴直線L恒過定點P（-3，-1）
∵（-3+4）²+（-1+1）²＜25．
∴P（-3，-1）在圓C的內部
∴直線L與圓C恒有兩個交點；
（3）直線L被圓C截得的弦長最小時，CP⊥L
∵C（-4，-1），P（-3，-1）
∴所求直線方程為x=-3

點評：本題以兩條平行線為載體，考查兩平行線間的距離公式，考查兩條直線的交點，同時考查點與圓，直線與圓的位置關系，解題的關鍵是正確運用兩平行線間的距離公式，合理轉化．