Question

（本小題滿分12分）
如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；

Answer 1

（I）



（II）連結AC、BD交于G，連結FG，

∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB為二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，
在直角三角形BCE中，CE=
在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，
∴二面角B-AC-E為
（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距離等于B到平面ACE的距離，BF⊥平面ACE，線段BF的長度就是點B到平面ACE的距離，即為D到平面ACE的距離所以D到平面的距離為
另法：過點E作交AB于點O. OE=1.
∵二面角D—AB—E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD.
設D到平面ACE的距離為h， 
平面BCE， 
∴點D到平面ACE的距離為
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標系O—xyz，如圖.

面BCE，BE面BCE，，
在的中點，

 設平面AEC的一個法向量為，
則
解得
令得是平面AEC的一個法向量.
又平面BAC的一個法向量為，

∴二面角B—AC—E的大小為
（III）∵AD//z軸，AD=2，∴，
∴點D到平面ACE的距離

解析