Question

已知f（x）=3^x，f（a+2）=27，函數g（x）=λ•2^ax-4^x的定義域為[0，2]
（1）求a的值
（2）若函數g（x）的最大值是

1

3

，求實數λ的值．

Answer 1

分析：（1）根據函數表達式，結合題意得3^a+2=27，利用指數的運算性質可得實數a的值；
（2）令2^x=t，可得g（x）=h（t）=-（t-

1

2

λ）²+

1

4

λ2，其中t∈[1，4]．再根據二次函數的單調性進行分類討論，分別建立關于λ的方程，解之并加以檢驗，最后綜合可得函數g（x）的最大值是

1

3

時，實數λ的值

4

3

．

解答：解：（1）依題f（a+2）=3^a+2=27，
解之得a+2=3，得a=1   _{--------------------------------------------}（2分）
（2）令2^x=t，由0≤x≤2，可得t∈[1，4]_{-------------------------}（4分）
g（x）=h（t）=-t²+λt=-（t-

1

2

λ）²+

1

4

λ2．t∈[1，4]
①當

1

2

λ＜1即λ＜2時，[h（t）]_max=h（1）=λ-1=

1

3

，
解得λ=

4

3

，符合條件_{-------------------------}（8分）
②當1≤

1

2

λ＜4，即2≤λ＜8時，[h（t）]_max=h（

1

2

λ）=

1

4

λ2=

1

3

解之得λ=±

2 3

3

∉[2，8），不符合題意，舍去_----（9分）
③當

1

2

λ≥4，即λ≥8時，[h（t）]_max=h（4）=4λ-16=

1

3

解之得λ=

49

12

＜8，不符合題意，舍去_{------------------}（11分）
綜上所述，函數g（x）的最大值是

1

3

時，實數λ的值

4

3

．_{---------------------------}（12分）

點評：本題給出指數函數，求特殊函數值對應的自變量并依此求“類二次函數”的最值問題．著重考查了指數函數的性質、二次函數在閉區間上的最值討論等知識，屬于中檔題．