Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，對任意的x都有f（x+2）=f（x）成立，且當x∈（0，1）時f(x)=

2x

4x+1

．
（1）判斷f（x）在（0，1）上的單調性，并加以證明；
（2）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）當關于x的方程f（x）-1=2λ在[-1，1]上有實數解時，求實數λ的取值范圍，

Answer 1

分析：（1）用定義法證明函數的單調性，作差，變形，判號，得出結論四步，
（2）利用奇函數的性質求解，其步驟是先設x∈（-1，0），則-x∈（0，1），求出f（-x），再利用奇函數的性質，得到 f（x）=-f（-x）求出x∈（-1，0），上的表達式，再由所給的恒等式求出自變量為-1，0，1時的函數值為零，用分段函數寫出解析式．
（3）將λ表示為x的函數，單調性求f（x）在[-1，1]上值域，利用一次函數的單調性求出λ的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）在（0，1）上是減函數，證明如下
當x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

．
設0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x 1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

( 4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2x2-2x1＞0，2 x1+x2-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上單調遞減
（2）解：當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函數，∴f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．∴在區間[-1，1]上，有f（x）=

2x 4x+1      x∈(0，1) - 2 x 4 x+1     x∈(-1，0) 0                 x∈{-1，0，1}

（3）解：f（x）-1=2λ在[-1，1]上有實數解，轉化為λ=

1

2

f（x）-

1

2

由函數的單調性求出函數在[-1，1]的值域
即得，f（x）的值域為(-

1

2

，-

2

5

)∪(

2

5

，

1

2

)∪{0}λ∈(-

3

4

，-

7

10

)∪(-

3

10

，-

1

4

)∪{-

1

2

}

點評：本題考查復雜函數的單調性證明以及利用函數的奇偶性求對稱區間上的解析式，思路簡單，運算變形較繁，是一道提高答題者耐心的好題．