Question

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=

3

，點(diǎn)M為棱SA的中點(diǎn)．
（1）求證：DM⊥平面SAB；
（2）求異面直線DM與SC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）依題意，可證△SDA為等腰直角三角形，從而DM⊥SA，由BA⊥面SAD 可證得DM⊥AB，利用線面垂直的判定定理即可證得DM⊥平面SAB；
（2）以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可求得

DM

，

SC

的坐標(biāo)，利用空間向量的數(shù)量積即可求得異面直線DM與SC所成角的大小．

解答：解：（1）連接BD，則BD=

2

，
∵SB=

3

，在直角三角形SBD中，SD=DA=1，
∴△SDA為等腰直角三角形，又M為棱SA的中點(diǎn)，
∴DM⊥SA；
∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥AB，又AB⊥AD，AB∩AD=A，
∴AB⊥平面SAD，DM?平面SAD，
∴DM⊥AB，又AB∩AS=A，
∴DM⊥平面SAB；
（2）以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

∵四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD=1，
∴D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），S（0，0，1），
∵M(jìn)為棱SA的中點(diǎn)，
∴M（

1

2

，0，

1

2

），
∴

DM

=（

1

2

，0，

1

2

），

SC

=（0，1，-1），設(shè)異面直線

DM

與

SC

所成角的大小為θ，
cosθ=

DM • SC

| DM || SC |

=

- 1 2

1 2 • 2

=-

1

2

，
∴|cosθ|=

1

2

，
∴異面直線DM與SC所成角為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，考查異面直線及其所成的角，考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，屬于中檔題．