Question

已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表：

	甲	乙	丙
維生素A（單位/kg）	60	70	40
維生素B（單位/kg）	80	40	50
成本（元/kg）	11	9	4

現(xiàn)分別用甲、乙、丙三種食物配成10kg混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有560單位維生素A和630單位維生素B．
（1）若混合食物中恰含580單位維生素A和660單位維生素B，求混合食物的成本為多少元？
（2）分別用甲、乙、丙三種食物各多少千克，才能使混合食物的成本最低？最低成本為多少元？

Answer 1

分析：（I）設(shè)出三種食物的質(zhì)量，列出方程組，解方程組求出三種食物的質(zhì)量，求出混合食物的成本．
（II）據(jù)已知條件列出不等式組及目標(biāo)函數(shù)；將z用x，y代替，化簡不等式組和目標(biāo)函數(shù)；畫出可行域及目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，結(jié)合圖，判斷出直線過定點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)最小，通過求直線的交點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入求出z的最小值．

解答：解：設(shè)分別用甲、乙、丙三種食物xkg，ykg，zkg，混合食物的成本為p元，則（Ⅰ）依題意得

x+y+z=10 60x+40y+40z=580 80x+40y+50z=660

，
即

z=10-x-y 2x+3y=18 3x-y=16

．（2分）
由此解得x=6，y=z=2．（4分）
故混合食物的成本為6×11+2×9+2×4=92（元）．（5分）
（II）

x+y+z=10 60x+70+40z≥560 80x+40y+50z≥630 x＞0，y＞0，z＞0

，即

2x+3y-16≥0 3x-y-13≥0 x＞0，y＞0

．（7分）
且p=11x+9y+4z=7x+5y+40．（8分）
作可行域，如圖．（10分）
由

2x+3y-16=0 3x-y-13=0

，得點(diǎn)A（5，2）．
平移直線7x+5y=0，由圖知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時，
它在y軸上的截距為最大，所以點(diǎn)A為最優(yōu)解，
此時p=7×5+5×2+40=85（元）．（12分）
故用甲種食物5kg，乙種食物2kg，丙種食物3kg時，才能使混合食物的成本最低，其最低成本為85元．（13分）

點(diǎn)評：本題考查將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力、考查話不等式組表示的平面區(qū)域、考查數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值．