Question

某市環保部門對市中心每天環境污染情況進行調查研究，發現一天中環境污染指數與時刻（時）的關系為，，其中是與氣象有關的參數，且，用每天的最大值作為當天的污染指數，記作.
(1)令，，求的取值范圍；
(2)按規定，每天的污染指數不得超過2，問目前市中心的污染指數是否超標？

Answer 1

（1）的取值范圍是；（2）當時，污染指數不超標；當時，污染指數超標.

解析試題分析：（1）從的表達式可知，可以考慮利用基本不等式求的取值范圍，首先討論當當時，，而當時：，
當且僅當，即時取等號，而顯然，因此的取值范圍是；（2）根據條件結合（1）分析可知，可將污染指數轉化為與有關的函數，利用（1）中求得的的取值范圍，可知，顯然在上單調遞減，在上單調遞增，∴的最大值只可能在或時取到，通過比較可知，從而若市中心的污染指數未超標，則等價于，解關于的不等式組，從而可以得到相應結論：當時，污染指數不超標；當時，污染指數超標.
試題解析：（1）當時：，                          1分
當時：，        4分
當且僅當，即時取等號，        5分 而顯然，
綜上所述，的取值范圍是；            6分
（2）記，，則，    8分
顯然在上單調遞減，在上單調遞增，∴的最大值只可能在或時取到，
而，∵，∴，
∴，∴，            11分
由得，                13分
故當時，污染指數不超標；當時，污染指數超標.            14分
考點：1.基本不等式求函數值域；2.分段函數的綜合運用.