Question

【題目】已知為橢圓（）的一個焦點，過原點的直線與橢圓交于、兩點，且，△的面積為。

（1）求橢圓的離心率；

（2）若，過點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求點橫坐標的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）可通過橢圓上的點到兩焦點的距離之和為、、三式聯立求得，再與解得橢圓離心率。

（ 2）首先可以通過第一小題得出橢圓方程，再設出直線的方程,與橢圓聯立解得的值，再設出線段中點坐標為，最后求得點橫坐標的取值范圍。

（1）設橢圓的焦半距為，左焦點為，因為所以

由橢圓的對稱性可知四邊形為矩形， ，

所以 ，

得，由消去上式的得，

即，橢圓C的離心率 ，

（2）因為的坐標為，由（1）中，所以，

，橢圓的方程為，

設直線的斜率為，直線不與坐標軸垂直故，

直線的方程為 ，

將方程與橢圓方程聯立得： 消得：，

由韋達定理得：，設線段中點坐標為，則，

則垂直平分線的方程為。令，點橫坐標為：

，

因為，所以，

故點橫坐標的取值范圍為：。