Question

如圖所示的螺旋線是用以下方法畫成的，△ABC是邊長為1的正三角形，曲線CA₁，A₁A₂，A₂A₃分別是A，B，C為圓心，AC，BA₁，CA₂為半徑畫的弧，曲線CA₁A₂A₃稱為螺旋線的第一圈；然后又以A為圓心，AA₃半徑畫弧，如此繼續下去，這樣畫到第n圈．設所得螺旋線CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的總長度為S_n．求
（1）S₁=

4π

；
（2）S_n=

n（3n+1）π

．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，即為螺旋線CA₁A₂A₃的長度和，所以S₁=

2π

3

+2×

2π

3

+3×

2π

3

=4π
（2）由題知如果這樣畫到第n圈得到n條螺旋線，是由3n條弧長構成，這些弧長的圓心角都為

2π

3

，根據弧長公式得到這些弧長是

2π

3

為首項，

2π

3

為公差，項數為3n的等差數列，所以這些螺旋線的總長度即為等差數列的前3n的和，求出即可．

解答：解：（1）當n=1時，S₁=

2π

3

+2×

2π

3

+3×

2π

3

=4π
（2）根據弧長公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的長度分別為：

2π 3 ×π×1

π

，

2π 3 ×π× 2

π

，…，

2π 3 ×π×3n

π

，
化簡得：

2π

3

，2×

2π

3

，3×

2π

3

，…，3n×

2π

3

，此數列是

2π

3

為首項，

2π

3

為公差，項數為3n的等差數列，則根據等差數列的求和公式得S_n=3n×

2π

3

+

3n(3n-1)

2

×

2π

3

=2nπ+nπ（3n-1）=n（3n+1）π．
故答案為：4π、n（3n+1）π

點評：本題主要考查了等差數列的性質和數列的求和．解題的關鍵是歸納總結得到各弧長成等差數列，此題鍛煉了學生會經過觀察歸納總結得出結論的能力．