Question

【題目】設函數f（x）=ax2+lnx．
（Ⅰ）當a=﹣1時，求函數y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）已知a＜0，若函數y=f（x）的圖象總在直線y=-的下方，求a的取值范圍；
（Ⅲ）記f′（x）為函數f（x）的導函數．若a=1，試問：在區間[1，10]上是否存在k（k＜100）個正數x1 ， x2 ， x3…xk ， 使得f′（x1）+f′（x2）+f′（x3）+…+f′（xk）≥2012成立？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=﹣1時，f（x）=﹣x2+lnx，，f′（1）=﹣1，
所以切線的斜率為﹣1．
又f（1）=﹣1，所以切點為（1，﹣1）．
故所求的切線方程為：y+1=﹣（x﹣1）即x+y=0．
（Ⅱ），x＞0，a＜0．
令f′（x）=0，則x=．
當x(0,)時，f′（x）＞0；當x(,+)時，f′（x）＜0．
故x=為函數f（x）的唯一極大值點，
所以f（x）的最大值為f()=-．
由題意有，解得a．
所以a的取值范圍為(-,-)
（Ⅲ）當a=1時，．記g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]．
∵當x∈[1，10]時，，∴y=g（x）在[1，10]上為增函數，
即y=f′（x）在[1，10]上為增函數
又，
所以，對任意的x∈[1，10]，總有．
所以f'（x1）+f'（x2）+f'（x3）+…+f'（xk）≤，
又因為k＜100，所以．
故在區間[1，10]上不存在使得f'（x1）+f'（x2）+f'（x3）+…+f'（xk）≥2012成立的k（k＜100）個正數x1 ， x2 ， x3…xk ．
【解析】（Ⅰ）當a=﹣1時， ， f′（1）=﹣1，由此能求出函數y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ） ， x＞0，a＜0．令f′（x）=0，則x= ． 由此能求出a的取值范圍．
（Ⅲ）當a=1時， ． 記g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]．由此入手能夠推導出在區間[1，10]上不存在使得f'（x1）+f'（x2）+f'（x3）+…+f'（xk）≥2012成立的k（k＜100）個正數x1 ， x2 ， x3…xk ．