Question

（2010•上海模擬）已知{a_n}是一個公差大于0的等差數列，且滿足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式：
（Ⅱ）若數列{a_n}和數列{b_n}滿足等式：a_n==

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…

bn

2n

（n為正整數），求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）將已知條件a₃a₆=55，a₂+a₇=16，利用等差數列的通項公式用首項與公差表示，列出方程組，求出首項與公差，進一步求出數列{a_n}的通項公式
（2）將已知等式仿寫出一個新等式，兩個式子相減求出數列{b_n}的通項，利用等比數列的前n項和公式求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解（1）解：設等差數列{a_n} 的公差為d，則依題設d＞0
由a2+a7=16．得2a₁+7d=16
①由a₃•a₆=55，得（a₁+2d）（a₁+5d）=55 ②
由①得2a₁=16-7d 將其代入②得（16-3d）（16+3d）=220．
即256-9d²=220∴d²=4，又d＞0，
∴d=2，代入①得a₁=1
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1
所以a_n=2n-1
（2）令c_n=

bn

2n

，則有a_n=c₁+c₂+…+c_n，a_n+1=c₁+c₂+…+c_n-1
兩式相減得a_n+1-a_n=c_n+1，
由（1）得a₁=1，a_n+1-a_n=2
∴c_n+1=2，c_n=2（n≥2），
即當n≥2時，b_n=2ⁿ⁺¹
又當n=1時，b₁=2a₁=2
∴b_n=

2，(n=1) 2n+1(n≥2)

＜BR＞
于是S_n=b₁+b₂+b₃…+b_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-4=

2(2n+1-1)

2-1

-4=2n+2-6，
即S_n=2ⁿ⁺²-6

點評：求一個數列的前n項和應該先求出數列的通項，利用通項的特點，然后選擇合適的求和的方法．