Question

在半徑為R的半球內有一內接圓柱，則這個圓柱的體積的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設這個圓柱的高為h，可得這個圓柱的體積V=π（-h³+R²h）．利用導數研究函數的單調性，得V在（0，R）上是增函數，在（R，R）上是減函數，由此可得當h=R時，圓柱的體積的最大值是πR²．
解答：解：設這個圓柱的高為h，底面半徑為r，可得
h²+r²=R²，所以r=
∴這個圓柱的體積V=πr²h=π（-h³+R²h）
∵V'=π（-3h²+R²）=-3π（h+R）（h-R）
V'＞0，得h＜R； V'＜0，得h＞R
∴V在（0，R）上是增函數，在（R，R）上是減函數
因此，當h=R時，圓柱的體積的最大值V_max=π[-（R）³+R²×R）=πR²
故選：A
點評：本題給出半球，求其內接圓柱的體積最大值，著重考查了球內接多面體、圓柱體積公式和利用導數研究函數的最值等知識，屬于中檔題．