Question

【題目】已知Sn＝1＋＋＋…＋．

（1）求S2，S4的值；

（2）若Tn＝，試比較與Tn的大小，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）； （2）當n＝1，2時，=Tn；當n≥3時，＞Tn．證明見解析.

【解析】

（1）根據題意代入公式計算得解；

（2）先觀察規(guī)律，猜測結論，并用數學歸納法證明.

解：（1）S2＝1＋＝，S4＝1＋＋＋＝．

（2）當n＝1，2時，T1＝＝，T2＝＝，所以，＝Tn．

當n＝3時，T3＝＝，S8＝1＋＋＋＋＋＋＋＝＞＝T3．

于是，猜想，當n≥3時，＞Tn．

下面用數學歸納法證明：

①當n=3時，結論成立；

②假設n＝k(k≥3)時結論成立，即＞Tk；

當n＝k＋1時，＝＋＋＋…＋

＞＋（＋＋…＋）＋（＋＋…＋）

＞＋×2k－1＋×2k－1＝＋＋＝，

當n＝k＋1時，＞Tn．

根據①、②可知，對任意不小于3的正整數n，都有＞Tn．

綜上，當n＝1，2時，=Tn；當n≥3時，＞Tn．