Question

給出下列五個命題：
①已知直線a，b和平面α，若a∥b，b∥α，則a∥α；
②平面上到一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡是一條拋物線；
③雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），則直線y=

b

a

x+m（m∈R）與雙曲線有且只有一個公共點；
④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直；
⑤過M（2，0）的直線l與橢圓

x2

2

+y²=1交于P₁P₂兩點，線段P₁P₂中點為P，設直線l斜率為k1（k≠0），直線OP的斜率為k₂，則k₁k₂等于-

1

2

．
其中，正確命題的序號為

④⑤

．

Answer 1

分析：①利用線面平行的性質．②結合拋物線的定義及條件．③利用雙曲線漸近線的性質．④利用面面垂直的判定定理．⑤利用直線與橢圓的位置關系以及點差法求解．．

解答：解：①線面平行的前提條件是直線a?α，所以條件中沒有a?α，所以①錯誤．
②當定點位于定直線時，此時的點到軌跡為垂直于直線且以定點為垂足的直線，只有當點不在直線時，軌跡才是拋物線，所以②錯誤．
③因為雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x，當直線與漸近線平行時直線與雙曲線只有一個交點，當直線與漸近線重合時，沒有交點，所以③錯誤．
④根據面面垂直的性質定理可知，只有當平面內的直線垂直于交線時，才垂直于另一個平面，否則將不和另一個平面垂直，所以④正確．
⑤設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），中點P（x₀，y₀），則k1=

y1-y2

x1-x2

，k2=

y0

x0

=

y1+y2

x1+x2

，
把P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）分別代入橢圓方程

x2

2

+y²=1，
得

x

2 1

+2

y

2 1

=2 ①

x

2 2

+2

y

2 2

=2 ②，兩式相減得

x

2 1

-

x

2 2

+2(

y

2 1

-

y

2 2

)=0，
整理得

y1+y2

x1+x2

?

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

，即k1k2=-

1

2

，所以⑤正確．
所以正確命題的序號為④⑤．
故答案為：④⑤．

點評：本題考查空間線面平行于垂直的判斷以及直線與圓錐曲線位置關系的判斷．考查學生的運算能力．