Question

已知函數，當恒成立的a的最小值為k，存在n個
正數，且，任取n個自變量的值

（I）求k的值；
（II）如果
（III）如果，且存在n個自變量的值，使，求證：

Answer 1

解：（Ⅰ）令，則，
，
當時，此時在條件下，，
則在上為減函數，所以，
所以在上為減函數，
所以當時，，即；
當，即時，存在，使得，
當時，，為減函數，則，
即在上遞減，則時，，
所以，即；     （2分）
當，即時，，
則在上為增函數，即當時，，即；
當，即時，當時，，
則在上為增函數，當時，，即．
綜上，，則的最小值．            （4分）
（Ⅱ）不妨設,
，，
所以在上為增函數，          （5分）
令．
,
當時, 因為，所以，  （7分）
即在上為增函數，所以，
則，
則原結論成立．         （8分）
（Ⅲ）（ⅰ）當時，結論成立；
（ⅱ）假設當結論成立，即存在個正數，
時，對于個自變量的值, 有
．
當時，
令存在個正數, ，
令，則，
對于個自變量的值,
此時

．   （10分）
因為, 所以

所以時結論也成立，                    （11分）
綜上可得．
當時, ，             （12分）
所以在上單調遞增，
所以

略