Question

如圖示，已知直線l₁∥l₂，點A是l₁，l₂之間的一個定點，且A到l₁，l₂的距離分別為4、3，點B是直線l₁上的動點，若

AC

•

AB

=0，AC與直線l₂交于點C，則△ABC面積的最小值為（　　）

A．3

B．6

C．12

D．18

Answer 1

分析：過A作EF⊥l₁，與l₁交于E，與l₂交于F，設∠EAB=α，則∠FAC=90°-α，由A到l₁，l₂的距離分別為4、3，能夠得到AB=

4

cosα

，AC=

3

cos(90°-α)

=

3

sinα

，所以△ABC的面積S=

12

sin2α

，由此知當α=45°時，sin2α=1，面積S獲得最小值．

解答：解：如圖，過A作EF⊥l₁，與l₁交于E，與l₂交于F，
設∠EAB=α，則∠FAC=90°-α，
∵A到l₁，l₂的距離分別為4、3，
∴AE=4，AF=3，
∴AB=

4

cosα

，AC=

3

cos(90°-α)

=

3

sinα

，
∴△ABC的面積S=

1

2

AB•AC
=

1

2

×

4

cosα

×

3

sinα

=

12

sin2α

，
當α=45°時，sin2α=1，面積S獲得最小值12．
故答案為：12．

點評：本題考查向量在幾何中的靈活運用，綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意三角函數性質的合理運用，恰當地作出圖形，運用數形結合思想進行解題，有事半功倍之效．