Question

【題目】已知拋物線的焦點為，點是拋物線上一點，且滿足.

（1）求、的值；

（2）設、是拋物線上不與重合的兩個動點，記直線、與的準線的交點分別為、，若，問直線是否過定點？若是，則求出該定點坐標，否則請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）過定點，且定點的坐標為.

【解析】

（1）將點的坐標代入拋物線的方程結合拋物線的定義可得出關于、的方程組，解出即可；

（2）設直線方程為，、，求出直線、的方程，解出點、的坐標，利用，得，結合韋達定理，求出，再求出定點坐標．

（1）由題意得拋物線的準線方程，則，

由題意得，解得；

（2）由（1）得拋物線的焦點，，

顯然直線的斜率不為零，設直線方程為，、，

聯立，消去得，

由韋達定理得，.

直線的斜率，

故直線的方程為，

令，得，故的坐標為，

同理的坐標為，

，，，，

所以，，

，所以，直線的方程為，過定點.