Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.
（1）求a₁，a₂，a₃值，并求的表達(dá)式；
（2）將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)所有項(xiàng)之和，并設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為，求的值；
（3）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

，2010，

解：（1）點(diǎn)在函數(shù)上，.
所以a₁=S₁=2，a₂= S₂- S₁=4，a₃= S₃- S₂=6
當(dāng)時(shí)，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，滿足..
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141644796390.gif" style="vertical-align:middle;" />（），所以數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)， 故 是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20. 同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20. 故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80. 注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68，
所以 ．又=22，所以="2010."
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141645046427.gif" style="vertical-align:middle;" />，故，
所以．
又對(duì)一切都成立，即
對(duì)一切都成立
設(shè)，則只需即可．
由于，
所以，故是單調(diào)遞減，于是 
令，即 ，解得，或．
綜上所述，使得所給不等式對(duì)一切都成立的實(shí)數(shù)存在，的取值范圍是
．