Question

已知A、B是直線l上任意兩點，O是l外一點，若l上一點C滿足

OC

=cosθ

OA

+cos²θ

OB

，則sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ=（　　）

• A．1
• B．-1+

  5

• C．1+

  5

• D．-1+

  5

  或1+

  5

Answer 1

分析：根據A、B、C三點共線，結合題中向量等式得到cosθ+cos²θ=1，從而cosθ=1-cos²θ=sin²θ，由此化簡得sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ=1+cosθ-cos²θ，再由cosθ+cos²θ=1解出cosθ和cos²θ的值，代入即可得到所求的值．

解答：解：∵A、B、C三點在同一條直線l上
∴由

OC

=cosθ

OA

+cos²θ

OB

，得cosθ+cos²θ=1
因此，cosθ=1-cos²θ=sin²θ，
∴sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ=cosθ+cos²θ+cos³θ
結合cosθ+cos²θ=1，
得sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ=1+cos³θ=1+cosθ（1-cosθ）=1+cosθ-cos²θ
由cosθ+cos²θ=1解出cosθ=

5 -1

2

，得cos²θ=

3- 5

2

∴sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ=1+

5 -1

2

-

3- 5

2

=-1+

5

故選：B

點評：本題給出向量含有三角函數系數的等式，求三角函數式的值．著重考查了向量的線性運算和同角三角函數基本關系等知識，屬于中檔題．