Question

【題目】設f（x）＝xex﹣ax2﹣2ax．

（Ⅰ）若y＝f（x）的圖象在x＝﹣1處的切線經過坐標原點，求a的值；

（Ⅱ）若f（x）存在極大值，且極大值小于0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a；（Ⅱ）（0，）∪（，）．

【解析】

（Ⅰ）求f'（x）得到切線斜率，結合直線過原點，即得解;

（Ⅱ）分a≤0，a＞0兩種情況分析導數極值，得到f（ln2a）是極大值，由極大值小于0，求a的取值范圍.

（Ⅰ）f'（x）＝ex+xex﹣2ax﹣2a＝（x+1）（ex﹣2a），f'（﹣1）＝0，f（﹣1）a，

所以由題意得：0，∴a；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當2a≤0時，即a≤0時，ex﹣2a≥0，

∴x＜﹣1，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，

x＞﹣1，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，

所以f（x）有極小值，無極大值；

當a＞0，f'（x）＝0，x＝﹣1或x＝ln2a，

當ln2a＞﹣1時，即a，

∴x∈（﹣∞，﹣1）和 （ln2a，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調遞增，

當﹣1＜x＜ln2a時，

f'（x）＜0，f（x）單調遞減，

所以f（﹣1）為極大值，且f（﹣1）a，由題意得：f（﹣1）＜0，∴；

當ln2a＜﹣1時，即0＜a，

∴x∈（﹣∞，ln2a）和 （﹣1，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調遞增，

x∈（ln2a，﹣1），f'（x）＜0，f（x）單調遞減，

所以f（ln2a）是極大值，且f（ln2a）＝2aln2a﹣aln22a﹣2aln2a＝﹣aln22a＜0恒成立；

當ln2a＝﹣1時，即a，f'（x）＝（x+1）2≥0恒成立，f（x）單調遞增，無極值，舍去；

綜上所述：符合條件的a的取值范圍：（0，）∪（，）．