Question

（2011•藍山縣模擬）某市近郊有一塊大約500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府準備在此建一個綜合性休閑廣場，首先要建設如圖所示的一個矩形場地，其中總面積為3000平方米，其中陰影部分為通道，通道寬度為2米，中間的三個矩形區(qū)域?qū)�鋪設塑膠地面作為運動場地（其中兩個小場地形狀相同），塑膠運動場地占地面積為S平方米．
（1）分別用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式，并給出定義域；
（2）怎樣設計能使S取得最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）總面積為xy=3000，且2a+6=y，則y=

3000

x

，a=

y

2

-3=

1500

x

-3（其中6≤x≤500），從而運動場占地面積為S=（x-4）a+（x-6）a，代入整理即得；
（2）由（1）知，占地面積S=3030-6x-

15000

x

=3030-（6x+

15000

x

），由基本不等式可得函數(shù)的最大值，以及對應的x的值．

解答：解：（1）由已知xy=3000，∴y=

3000

x

，其定義域是（6，500）．
S=（x-4）a+（x-6）a=（2x-10）a，
∵2a+6=y，∴a=

y

2

-3=

1500

x

-3，
∴S=(2x-10)•(

1500

x

-3)=3030-(

15000

x

+6x)，其定義域是（6，500）．
（2）S=3030-(

15000

x

+6x)≤3030-2

6x• 15000 x

=3030-2×300=2430，
當且僅當

15000

x

=6x，即x=50∈（6，500）時，上述不等式等號成立，
此時，x=50，y=60，S_max=2430．
答：設計x=50m，y=60m時，運動場地面積最大，最大值為2430平方米．

點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查應用基本不等式求函數(shù)最值，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵，屬于中檔題．