Question

已知橢圓C：的離心率為，左、右焦點分別為，點G在橢圓C上，且，的面積為3.
（1）求橢圓C的方程：
（2）設橢圓的左、右頂點為A，B，過的直線與橢圓交于不同的兩點M，N（不同于點A，B），探索直線AM，BN的交點能否在一條垂直于軸的定直線上，若能，求出這條定直線的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）直線AM，BN的交點必在一條垂直于軸的定直線上，這條直線的方程是．

試題分析：（1）求橢圓的方程，由橢圓的離心率為，得，，由得，，得得，即，由的面積為3，得，由于，可得，即，可求出，從而可得，即得橢圓的方程；（2）這是探索性命題，由于探索直線AM，BN的交點能否在一條垂直于軸的定直線上，可有特例求出定直線，然后驗證一般情況，故當直線的斜率不存在時，直線：，直線與橢圓Ｃ的交點坐標，，寫出直線的方程，解交點坐標為，它在垂直于軸的直線上，然后驗證當直線的斜率存在時，交點必在直線上即可，因此設直線，代入橢圓Ｃ的方程，設，利用根與系數關系，得關系式，再寫出直線的方程，消去，解方程得即可．
試題解析：（1）設，由于，所以，
根據，得，即，
因為的面積為３，，所以，
所以有，解得，所以，
所以橢圓才Ｃ的方程為。          5分
（２）由（１）知。
①當直線的斜率不存在時，直線：，直線與橢圓Ｃ的交點坐標，，此時直線，聯立兩直線方程，解得兩直線的交點坐標（４，３）。它在垂直于軸的直線上。        7分
②當直線的斜率存在時，
設直線，代入橢圓Ｃ的方程，整理得，設直線與橢圓Ｃ的交點，則。
直線AM的方程為，即，
直線BN的方程為，即
由直線AM與直線BN的方程消去，得


所以直線AM與直線BN的交點在直線上。        12分
綜上所述，直線AM，BN的交點必在一條垂直于軸的定直線上，這條直線的方程是．                13分