Question

【題目】如圖，某自來水公司要在公路兩側安裝排水管，公路為東西方向，在路北側沿直線排，在路南側沿直線排，現要在矩形區域內沿直線將與接通.已知，，公路兩側排水管費用為每米1萬元，穿過公路的部分的排水管費用為每米2萬元，設與所成的小于的角為.

（Ⅰ）求矩形區域內的排水管費用關于的函數關系；

（Ⅱ）求排水管的最小費用及相應的角.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）最小費用為萬元，相應的角為.

【解析】

（Ⅰ）過作,垂足為,由題意得,利用三角函數的定義分別表示,的長度,進而求解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）,設,要求的最小值,可先求的最大值,利用導函數求得的最大值,進而求解.

解:（Ⅰ）如圖,

過作,垂足為,由題意得,

故有,,,

∴

（Ⅱ）由（Ⅰ）設,

則,

令,得,即,得,

∴當時,,為增函數；

當時,,為減函數,

∴當時,有,此時.

答:排管的最小費用為萬元,相應的角為.