Question

4位男生和4位女生共8位同學站成一排，計算下列情況的排隊種數：
（1）男生甲和女生乙相鄰排隊；
（2）男生甲和女生乙順序固定；
（3）若女生甲不站兩端，4位男生中有且只有兩位男生相鄰．

Answer 1

分析：（1）用捆綁法，先將甲、乙看成一個元素，同時考慮其順序，再將甲乙與其他人進行全排列，由排列數公式，可得其情況數目，進而由分步計數原理，計算可得答案；
（2）用倍分法，先對8個人全排列，由排列公式，可得其情況數目，進而分析可得其中甲乙的順序有兩種情況，且其數目各占一半，由倍分法計算可得答案；
（3）分3步進行分析：第1步，先排甲之外的三個女生，排好后，有4個空位，第2步，用捆綁法，在男生中取出兩人，看成一個元素，同時考慮其順序，將其與剩余的2名男生，插入女生的空位中，第3步，在其排好的空位中，插入女生甲，分別計算每一步的情況數目，由分步計數原理，計算可得答案．

解答：解：（1）將甲、乙看成一個元素，考慮其順序，有2種情況，
將甲乙與其他人進行全排列，共7個元素，有A₇⁷=5040種情況，
共有2×5040=10080種情況；
（2）先對8個人全排列，有A₈⁸=40320種情況，
其中甲乙的順序有兩種情況，即甲在乙前或甲在乙后，數目各占一半，
則甲、乙順序一定的情況有

1

2

×40320=20160種情況，
（3）先排甲之外的三個女生，有A₃³=6種情況，排好后，有4個空位，
在男生中取出兩人，考慮其順序，有2C₄²=12種情況，
將其與剩余的2名男生，在女生的4個空位中，任取3個插入，有A₄³=24種情況，有6×12×24=1728種方法，
此時排除兩端的空位，有5個空位可用，插入女生甲，有5種情況，
則共有1728×5=8640種情況．

點評：本題考查排列、組合的運用，關鍵要掌握常見問題的處理方法，優先分析受限制的元素，不相鄰問題用插空法，相鄰問題用捆綁法．