Question

設(shè)f（x）=2cos（

π

4

 x+

π

3

），若對(duì)任意的x∈R，恒有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：由題意確定x₁、x₂是函數(shù)f（x）取最大、最小值是對(duì)應(yīng)x的值，再求出函數(shù)的周期，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出|x₁-x₂|的式子，再求出式子和最小值．

解答：解：∵f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴x₁、x₂是函數(shù)f（x）取最大、最小值是對(duì)應(yīng)x的值，
故|x₁-x₂|一定是

T

2

的整數(shù)倍，
∵f（x）=2cos（

π

4

x+

π

3

）的最小正周期T=

2π

π 4

=8，
∴|x₁-x₂|=n×

T

2

=4n（n＞0，且n∈Z），
∴|x₁-x₂|的最小值為4，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了余弦函數(shù)的最值和周期的應(yīng)用，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想．