Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且a1=0，nan+1=Sn+n（n+1）．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{bn}滿足an+log3n=log3bn ， 求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）n≥2時，nan+1=Sn+n（n+1），（n﹣1）an=Sn﹣1+n（n﹣1）．
相減可得：nan+1﹣（n﹣1）an=an+2n．
∴an+1﹣an=2．n=1時，a2=a1+2，∴a2﹣a1=2，
∴數列{an}為等差數列，an=0+2（n﹣1）=2n﹣2．
（II）∵數列{bn}滿足an+log3n=log3bn ，
∴bn=32n﹣2×n
∴數列{bn}的前n項和Tn=1+2×9+3×92+…+n×9n﹣1 ，
∴9Tn=9+2×92+…+（n﹣1）×9n﹣1+n×9n ，
∴﹣8Tn=1+9+92+…+9n﹣1﹣n×9n= ﹣n×9n ，
可得：Tn=
【解析】（I）n≥2時，利用遞推關系可得an+1﹣an=2．又a2﹣a1=2，數列{an}為等差數列，利用等差數列的通項公式即可得出．（II）數列{bn}滿足an+log3n=log3bn ， 可得bn=32n﹣2×n，再利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．