Question

觀察下列等式（x²+x+1）⁰=1，（x²+x+1）¹=x²+x+1，（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1…
可以推測（x²+x+1）⁵展開式中各項系數的和為

3⁵

．第四、五、六項系數的和是

136

．

Answer 1

分析：觀察所給的等式，分析可得（x²+x+1）ⁿ中，各項系數的和為3ⁿ，則（x²+x+1）⁵展開式中各項系數的和為3⁵，進而分析可得，在（x²+x+1）⁵展開式中，按x的降次排列，共11項，展開式的第四項是含x⁷的項；其構成是5個（x²+x+1）中3個出x²，1個出x，1個出1；或2個出x²，3個出x，由組合數公式可得其系數，同理可得第五、六項系數，相加可得答案．

解答：解：觀察所給的等式
（x²+x+1）⁰=1中，各項系數的和為1=3⁰，
（x²+x+1）¹=x²+x+1中，各項系數的和為3=3¹，
（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1中，各項系數的和為9=3²，
…
可以推測（x²+x+1）⁵展開式中各項系數的和為3⁵，
在（x²+x+1）⁵展開式中，按x的降次排列，共11項，
則展開式的第四項是含x⁷的項；其構成是5個（x²+x+1）中3個出x²，1個出x，1個出1；或2個出x²，3個多項式出x，其系數為C₅³C₃¹+C₅²=40，
展開式的第五項是含x⁶的項；其構成是5個多項式3個出x²，其它都出1；5個多項式2個出x²，2個出x，其它出1；
5個多項式1個出x²，4個出x，其系數為C₅³+C₅²C₃²+C₅¹=45，
同理：展開式的第6項的系數為C₅²C₃¹+C₅¹C₄³+1=51；
則第四、五、六項系數的和是40+45+51=136．
故答案為3⁵，136．

點評：本題考查二項式定理的運用以及歸納推理，解題的關鍵在于發現所給等式的系數變化的規律．