Question

已知函數y=f（x）的定義域為R，對任意x，x′∈R，均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且對任意x＞0都有f（x）＜0，f（3）=-3．
（1）試證明：函數y=f（x）在R上是單調函數；
（2）判斷y=f（x）的奇偶性，并證明．
（3）解不等式f（x+3）+f（4x）≤2．
（4）試求函數y=f（x）在[m，n]（mn＜0且m，n∈R）上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用抽象函數，去判斷f（x₁），f（x₂）與x₁，x₂的大小關系，從而確定單調性．
（2）利用函數奇偶性的定義判斷．
（3）結合條件，利用單調性求解．
（4）利用單調性和奇偶性求函數的值域．

解答：解：（1）任意設x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
因為x₁0．又因為對任意x＞0都有f（x）＜0，所以f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
所以函數f（x）在R上單調遞減．
（2）令x=x′=0，有f（0）=0，令x'=-x，則f（-x）+f（x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），
所以函數f（x）為奇函數．
（3）因為f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-3，f（2）=2f（1），解得f（1）=-1，f（2）=-2，
所以f（-2）=-f（2）=2．所以不等式不等式f（x+3）+f（4x）≤2等價為f[4x+（x+3）]≤f（-2），
因為函數f（x）在R上單調遞減，所以5x+3≥-2，即x≥-1．
所以不等式的解集為[-1，+∞）．
（4）由（1）知函數f（x）在[m，n]上單調遞減，所以函數f（x）的值域為[f（-n），f（-m）]．

點評：本題主要考查了抽象函數的應用，以及利用抽象函數判斷函數的單調性，奇偶性，綜合性較強．