Question

（2011•廣東模擬）等比數列{a_n} 中，a₁，a₂，a₃分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且a₁，a₂，a₃中的任何兩個數不在下表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

（Ⅰ）求數列{a_n} 的通項公式；
（Ⅱ）若數列 {b_n} 滿足 bn=

1

(n+2)log3( an+1 2 )

，記數列 {b_n} 的前n項和為S_n，證明Sn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（I）當a₁=3時，不合題意；當a₁=2時，當且僅當a₂=6，a₃=18時，符合題意；當a₁=10時，不合題意．因此a₁=2，a₂=6，a₃=18，由此能求出數列{a_n} 的通項公式．
（II）因為bn=

1

(n+2)log3( an+1 2 )

，所以bn=

1

n(n+2)

，由此利用裂項求和法能夠證明Sn＜

3

4

．

解答：解：（I）當a₁=3時，不合題意；
當a₁=2時，當且僅當a₂=6，a₃=18時，符合題意；
當a₁=10時，不合題意．…（4分）（只要找出正確的一組就給3分）
因此a₁=2，a₂=6，a₃=18，
所以公比q=3，…（4分）
故an=2•3n-1．…（6分）
（II）因為bn=

1

(n+2)log3( an+1 2 )

，
所以bn=

1

n(n+2)

…（9分）
所以S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

1×3

+

1

2×4

+…

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)…（12分）
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

，
故Sn＜

3

4

．…（14分）

點評：本題考查數列的通項公式和數列前n項和的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意裂項求和法的合理運用．