Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為．

（1）求的值；

（2）記，求函數(shù)在上的最小值；

（3）若對(duì)任意的，恒有，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）2（3）

【解析】

（1）先求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在處的切線方程為，有求解.

（2）由（1）得到， 再利用導(dǎo)數(shù)法求其最小值.

（3）先將對(duì)任意的，恒有，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，令，求導(dǎo)，根據(jù)（2）的結(jié)論，分當(dāng)和 ，兩種情況討論求解.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線方程為，

所以，

解得.

（2），

因?yàn)?/span>，所以

所以函數(shù)在上是增函數(shù)

所以函數(shù)在上的最小值；

（3）因?yàn)閷?duì)任意的，恒有，

所以對(duì)任意的恒成立，

令，

，

由（2）知當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù).

所以成立.

當(dāng)時(shí)，則存在，使得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，矛盾.

綜上：.