Question

（2013•四川）已知圓C的方程為x²+（y-4）²=4，點O是坐標原點．直線l：y=kx與圓C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設Q（m，n）是線段MN上的點，且

2

|OQ|2

=

1

|OM|2

+

1

|ON|2

．請將n表示為m的函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將直線l方程與圓C方程聯立消去y得到關于x的一元二次方程，根據兩函數圖象有兩個交點，得到根的判別式的值大于0，列出關于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范圍；
（Ⅱ）由M、N在直線l上，設點M、N坐標分別為（x₁，kx₁），（x₂，kx₂），利用兩點間的距離公式表示出|OM|²與|ON|²，以及|OQ|²，代入已知等式中變形，再利用根與系數的關系求出x₁+x₂與x₁x₂，用k表示出m，由Q在直線y=kx上，將Q坐標代入直線y=kx中表示出k，代入得出的關系式中，用m表示出n即可得出n關于m的函數解析式，并求出m的范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）將y=kx代入x²+（y-4）²=4中，得：（1+k²）x²-8kx+12=0（*），
根據題意得：△=（-8k）²-4（1+k²）×12＞0，即k²＞3，
則k的取值范圍為（-∞，-

3

）∪（

3

，+∞）；
（Ⅱ）由M、N、Q在直線l上，可設M、N坐標分別為（x₁，kx₁），（x₂，kx₂），
∴|OM|²=（1+k²）x₁²，|ON|²=（1+k²）x₂²，|OQ|²=m²+n²=（1+k²）m²，
代入

2

|OQ|2

=

1

|OM|2

+

1

|ON|2

得：

2

(1+k2)m2

=

1

(1+k2)x12

+

1

(1+k2)x22

，
即

2

m2

=

1

x12

+

1

x22

=

(x1+x2)2-2x1x2

x12x22

，
由（*）得到x₁+x₂=

8k

1+k2

，x₁x₂=

12

1+k2

，
代入得：

2

m2

=

( 8k 1+k2 )2- 24 1+k2

144 (1+k2)2

，即m²=

36

5k2-3

，
∵點Q在直線y=kx上，∴n=km，即k=

n

m

，代入m²=

36

5k2-3

，化簡得5n²-3m²=36，
由m²=

36

5k2-3

及k²＞3，得到0＜m²＜3，即m∈（-

3

，0）∪（0，

3

），
根據題意得點Q在圓內，即n＞0，
∴n=

3m2+36 5

=

15m2+180

5

，
則n與m的函數關系式為n=

15m2+180

5

（m∈（-

3

，0）∪（0，

3

））．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：根的判別式，根與系數的關系，兩點間的距離公式，以及函數與方程的綜合運用，本題計算量較大，是一道綜合性較強的中檔題．