Question

若直角坐標平面內的兩個點P和Q滿足條件：①P和Q都在函數y=f（x）的圖象上；②P和Q關于原點對稱，則稱點對[P，Q]是函數y=f（x）的一對“友好點對”（[P，Q]與[Q，P]看作同一對“友好點對”）．已知函數f(x)=

log2x，x＞0 -x2-4x，x≤0

，則此函數的“友好點對”有（　　）

A．0對

B．1對

C．2對

D．3對

Answer 1

分析：根據題意：“友好點對”，可知，欲求f（x）的“友好點對”，只須作出函數y=-x²-4x（x≤0）的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數f（x）=log₂x（x＞0）交點個數即可．

解答：解：根據題意：當x＞0時，-x＜0，則f（-x）=-（-x）²-4（-x）=-x²+4x，
可知，若函數為奇函數，可有f（x）=x²-4x，
則函數y=-x²-4x（x≤0）的圖象關于原點對稱的函數是y=x²-4x
由題意知，作出函數y=x²-4x（x＞0）的圖象，
看它與函數f（x）=log₂x（x＞0）交點個數即可得到友好點對的個數．
如圖，
觀察圖象可得：它們的交點個數是：2．
即f（x）的“友好點對”有：2個．
故答案選 C．

點評：本題主要考查了奇偶函數圖象的對稱性，以及數形結合的思想，解答的關鍵在于對“友好點對”的正確理解，合理地利用圖象法解決．