Question

設，等差數列中，，記=，令，數列的前n項和為.
（Ⅰ）求的通項公式和；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）是否存在正整數，且，使得成等比數列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）  S_n==
（Ⅱ）見解析
（Ⅲ）成等比數列，存在正整數m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數列

（Ⅰ）設數列的公差為，由,.
解得，="3 "     ∴
∵      ∴S_n==.
(Ⅱ)  
∴  ∴
(Ⅲ)由(2)知，   ∴，
∵成等比數列.
∴      即
當時，7，=1，不合題意；
當時，，=16，符合題意；
當時，，無正整數解；
當時，，無正整數解；
當時，，無正整數解；
當時，，無正整數解；
當時， ，則，而，
所以，此時不存在正整數m,n,且1<m<n,使得成等比數列.
綜上，存在正整數m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數列.