Question

已知函數f（x）=loga

x-5

x+5

，（a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）設g（x）=log_a（x-3），若方程f（x）-1=g（x）有實根，求a的取值范圍；
（3）是否存在實數m使得f（x+2）+f（m-x）為常數？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由對數的真數大于零和分式不等式的解法，求出函數的定義域，利用奇偶函數定義進行判定，得到f（-x）=-f（x），所以說明f（x）為奇函數；
（2）由題意得x2+(2-

1

a

)x-15+

5

a

=0在（5，+∞）上有解，設h(x)=x2+(2-

1

a

)x-15+

5

a

，求出對稱軸并對其分類討論，借助于二次函數得到求出a的范圍，
法二：利用分離常數法得a=

x-5

(x+5)(x-3)

在（5，+∞）上有解，設x-5=t，求出t的范圍代入解析式后化簡，利用基本不等式求出a的范圍；
（3）假設存在這樣的m滿足條件，由對數的運算對f（x+2）+f（m-x）化簡和設值，轉化為：（k-1）x²+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0對定義域內的x恒成立，列出等價方程組進行求解．

解答：解：（1）f（x）為奇函數，
由

x-5

x+5

＞0得，（x-5）（x+5）＞0，解得x＞5或x＜-5，
∴函數的定義域是{x|x＞5或x＜-5}，
∵f（-x）=loga

-x-5

-x+5

=loga

x+5

x-5

=-f（x）
∴f（x）為奇函數；
（2）方程x2+(2-

1

a

)x-15+

5

a

=0在（5，+∞）上有解，
設h(x)=x2+(2-

1

a

)x-15+

5

a

，則對稱軸x=-1+

1

2a

①-1+

1

2a

≤5時，即a≥

1

12

且a≠1，則h（5）＜0，無解；
②-1+

1

2a

＞5時，即0＜a＜

1

12

，則△≥0解得0＜a≤

3- 5

16

，
綜上0＜a≤

3- 5

16

，
法二：a=

x-5

(x+5)(x-3)

在（5，+∞）有解，設x-5=t，則t∈（0，+∞）
設y=

t

(t+10)(t+2)

，則y=

1

t+ 20 t +12

，
∵t+

20

t

+12≥4

5

+12，當且僅當t=2

5

取等號，
∴y=

1

t+ 20 t +12

值域為(0，

3- 5

16

]，
∴a∈(0，

3- 5

16

]，
（3）若存在這樣的m，則
f(x+2)+f(m-x)=loga

x-3

x+7

•

-x+m-5

-x+m+5

=loga

-x2+(m-2)x-3(m-5)

-x2+(m-2)x+7(m+5)

∴

-x2+(m-2)x-3(m-5)

-x2+(m-2)x+7(m+5)

為常數，
設

-x2+(m-2)x-3(m-5)

-x2+(m-2)x+7(m+5)

=k，
則（k-1）x²+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0對定義域內的x恒成立，
∴

k-1=0 (m-2)(1-k)=0 -3(m-5)-7k(m+5)=0

，解得

k=1 m=-2

，
所以存在這樣的m=-2．

點評：本題對數函數奇偶性的判斷，對數的運算性質應用，基本不等式求函數最值的應用，方程的根與函數之間的轉化問題，以及存在性的問題的處理等，重點是轉化思想的運用，綜合性強，難度較大．