Question

已知數列滿足（為常數，）
（1）當時，求；
（2）當時，求的值；
（3）問：使恒成立的常數是否存在？并證明你的結論．

Answer 1

（1）   （2）   （3）存在常數,使恒成立．

試題分析：假設題型中,先假設存在,然后在該假設下根據題中的已知條件去求值或證明,如果最后可得到數值或證明,則說明存在,否則不存在;分類討論．
（1）當時,根據已知條件可判斷出其符合等差數列的等差中項公式,所以知該數列是等差數列,此時根據題中所給的該數列的前兩項,可求出公差,進而利用等差數列的通項公式,求出通項．
（2）該題只是給出了數列的前兩項和一個遞推公式,而此時如果求數列的通項會相當的繁瑣,困難．觀察題目會發現,要求的是當時的第項,項數很大,所以猜想該數列的各項之間必然有一定的規律,故不妨列出數列的若干項觀察規律,會發現該數列是一個周期為6的數列．有了初步判斷之后,可以根據,找到,最終得到,從而證明開始的猜想,然后根據,可以得出結論,進而求出．
（3）首先假設存在,然后在該假設下根據題中的已知條件去求,如果最后可得到常數,則說明存在,否則不存在．根據①,可得②;根據及,可得③; 將③帶入②有④,此時①④式子含有相同的項,所以1式減④式得．分別討論
或是否成立,并最終形成結論．
（1）當時,根據題意可知成立,顯然該式符合等差數列的等差中項公式,
所以該數列是等差數列,根據題意首項為,公差為,
根據差數列的通項公式可知．
（2）根據題意列出該數列的一些項,如下:
，，，，，，
，，，，，，
,
我們發現該數列為一周期為6的數列．
事實上，根據題意可知,,則有①
又因為有②
將②帶入①化簡得③；
根據③式有，
所以說明該數列是周期為6的數列．
因為，所以．
（3）假設存在常數，使恒成立．
由①,可得②，
及,可得③
將③帶入②有④ 
①式減④式得．
所以，或．
當，時，數列｛｝為常數數列，顯然不滿足題意．
由得，于是，
即對于，都有，
所以，從而．
所以存在常數，使恒成立．