Question

六個面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體．如圖平行四邊形ABCD中，AC²+BD²=2（AB²+AD²），那么在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，類似的，有AC₁²+BD₁²+A₁C²+B₁D²=k（AB²+AD²+AA₁²），則k=

4

Answer 1

分析：根據平行四邊形的性質類比得出平行六面體的性質，即利用平行六面體，得到它的各個面以及它的對角面均為平行四邊形，多次使用已知條件中的定理，再將所得等式相加，可以計算出正確結論．

解答：解：如圖，平行六面體的各個面以及對角面都是平行四邊形，
因此，在平行四邊形ABCD中，AC²+BD²=2（AB²+AD²）…①；
在平行四邊形ACA₁C₁中，A₁C²+AC₁²=2（AC²+AA₁²）…②；
在平行四邊形BDB₁D₁中，B₁D²+BD₁²=2（BD²+BB₁²）…③；
②、③相加，得A₁C²+AC₁²+B₁D²+BD₁²=2（AC²+AA₁²）+2（BD²+BB₁²）…④
將①代入④，再結合AA₁=BB₁得，AC₁²+B₁D²+A₁C²+BD₁²=4（AB²+AD²+AA₁²）
故答案為：4．

點評：此題主要考查類比推理，考查學生對平行六面體的認識，對平行四邊形的性質的理解和掌握，考查學生方程組的處理能力，屬于中檔題．