設函數(shù)
的定義域為
，對任意的實數(shù)
都有
；當
時，
，且
.（1）判斷并證明在
上的單調(diào)性；
（2）若數(shù)列
滿足：
，且
，證明：對任意的
，
（1）單調(diào)遞增（2）
，再利用
.
【解析】
試題分析：（1）
在
上單調(diào)遞增，證明如下： 設任意
，且
，∵
，∴
，∴
即
，∴在上單調(diào)遞增.
（2）在
中，令
，得
.令
，
得
，∴
.令
，得
，即
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當
時，
，不等式成立；
②假設當
時，不等式成立，即
，則∵在上單調(diào)遞增，
∴
，∴
，即當
時不等式也成立.
綜上①②，由數(shù)學歸納法原理可知對任意的
，
考點：數(shù)學歸納法；抽象函數(shù)及其應用；數(shù)列與函數(shù)的綜合
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學歸納法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
考前必練系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
設函數(shù)
的定義域為R，若存在常數(shù)
，使
對一切實數(shù)
均成立，則稱為“倍約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)：①
；②
；③
；④
；⑤是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對一切
，
均有
．其中是“倍約束函數(shù)”的序號是
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科目：高中數(shù)學 來源：2011年遼寧省瓦房店市五校高二上學期競賽數(shù)學理卷 題型：解答題
．（本小題滿分12分）設函數(shù)
的定義域為R，當
時，
，且對任意實數(shù)
，都有
成立，數(shù)列
滿足
且
（1）求
的值；
（2）若不等式
對一切
均成立，求
的最大值.
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科目：高中數(shù)學 來源：2011年遼寧省瓦房店市五校高二上學期競賽數(shù)學理卷 題型：解答題
．（本小題滿分12分）設函數(shù)
的定義域為R，當
時，
，且對任意實數(shù)
，都有
成立，數(shù)列
滿足
且
（1）求
的值；
（2）若不等式
對一切
均成立，求
的最大值.
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科目：高中數(shù)學 來源：2010年江西省高三上學期開學模擬考試理科數(shù)學卷 題型：解答題
設函數(shù)的定義域為（0，+∞），且對任意正實數(shù)x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y)恒成立，已知f(2)=1且x>1時f(x)>0.
（1）求
；
（2）判斷y=f(x)在(0,+ ∞)上的單調(diào)性；
（3）一個各項均為正數(shù)的數(shù)列
其中sn是數(shù)列
的前n項和，求
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