Question

如圖，在Rt△ABC中，, BE平分∠ABC交AC于點E， 點D在AB上，．

(Ⅰ)求證：AC是△BDE的外接圓的切線；
(Ⅱ)若，求EC的長．

Answer 1

(Ⅰ)取BD的中點O，連接OE．∠C=90°，得OE⊥AC，確定AC是△BDE的外接圓的切線．
(Ⅱ) EC=3．

解析試題分析：(Ⅰ)取BD的中點O，連接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．         3分
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圓的切線．              5分
(Ⅱ)設⊙O的半徑為r，則在△AOE中，
，即，解得,
∴OA=2OE， ∴∠A=30°，∠AOE=60°． ∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴EC=．         10分
考點：平面幾何選講，圓的幾何性質。
點評：中檔題，本題作為選考內容，難度不大，正確解題的關鍵是，充分借助于幾何圖形的特征，利用“垂直關系”解題。