Question

在探究函數(shù)的最值中，
（1）先探究函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最值，列表如下：

x	…	0.1	0.2	0.5	0.7	0.9	1	1.1	1.2	1.3	2	3	4	5	…
y	…	30.00	15.01	6.13	4.63	4.06	4	4.06	4.23	4.50	9.50	28	64.75	125.6	…

觀察表中y值隨x值變化的趨勢(shì)，知x=______時(shí)，f（x）有最小值為______；
（2）再依次探究函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）上以及區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞）上的最值情況（是否有最值？是最大值或最小值？），請(qǐng)寫出你的探究結(jié)論，不必證明；
（3）請(qǐng)證明你在（1）所得到的結(jié)論是正確的．

Answer 1

【答案】分析：（1）觀察表中y值隨x值變化的趨勢(shì)，即可得出答案；
（2）利用奇函數(shù)的對(duì)稱性及（1）的結(jié)論即可得出；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值即可得出．
解答：解：（1）觀察表中y值隨x值變化的趨勢(shì)，知x=1時(shí)，f（x）有最小值為4；
（2）由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）上有最大值-4，此時(shí)x=-1．
∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞）上的值域是（-∞，-4]∪[4，+∞），
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞）上的既不存在最大值，也不存在最小值；
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，=，
令f^′（x）=0，解得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)1＜x時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得極小值，也即最小值，且f（1）=4．
點(diǎn)評(píng)：學(xué)會(huì)觀察分析，熟練掌握奇函數(shù)的對(duì)稱性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值是解題的關(guān)鍵．